1. Khái niệm ma trận nghịch hòn đảo (matrix inversion):
1.1 Định nghĩa 1:
Ma trận vuông I cung cấp n được Hotline là ma trận đơn vị giả dụ A.I = I.A = A, với mọi ma trận vuông A cung cấp n
Ta nhận biết ma trận trên là tồn tại. Thật vậy, ma trận thỏa ĐK trên bao gồm dạng sau:
Ma trận đơn vị chức năng cấp n
Ngoài ra, ma trận đơn vị là tốt nhất. Thật vậy, đưa sử bao gồm nhị ma trận đơn vị I và I’. Ta có:
Vì I là ma trận đơn vị chức năng phải I.I’ = I’.I = I’
và I’ là ma trận đơn vị yêu cầu I’.I = I.I’ = I
Vậy: I = I’
1.2 Định nghĩa 2:
Cho A là 1 trong ma trận vuông cấp n trên K. Ta bảo A là ma trận khả nghịch, nếu như trường tồn một ma trận B vuông cấp cho n bên trên K sao cho: A.B = B.A = In. Lúc đó, B được Call là ma trận nghịch đảo của ma trận A, ký kết hiệu A-1.
Bạn đang xem: Ma trận nghịch đảo cấp 2
Nhỏng vậy: A.A-1= A-1.A= In
1.3 Nhận xét:
1. Ma trận nghịch đảo là độc nhất vô nhị, do giả sử mãi sau ma trận C vuông cấp cho n cũng chính là ma trận nghịch hòn đảo của A. Ta có: A.C = C.A = In , thì: B = B.In = B(A.C) = (B.A).C = In.C = C
2. Hiển nhiên: (A-1)-1= A, nghĩa là A lại là ma trận nghịch hòn đảo của A-1
3. Trong giáo trình này, ta chỉ xét sự khả nghịch của ma trận vuông. Tuy nhiên, bây giờ, có khá nhiều giáo trình quốc tế đã đề cùa tới khái niệm khả nghịch của ma trận bất kỳ.
Thật vậy, cho A là ma trận cung cấp m x n trên trường số K. Khi kia, ta bảo A là khả nghịch trái nếu mãi sau ma trận L cấp cho n x m sao cho: L.A = In.; A là khả nghịch phải nếu như mãi mãi ma trận R cấp cho n x m sao cho: A.R = Im. Và khi đó, đương nhiên A khả nghịch giả dụ A khả nghịch trái với khả nghịch cần.
4. Ma trận đơn vị là khả nghịch, Ma trận không ko khả nghịch.
5. Tập vừa lòng các ma trận vuông cấp n trên K khả nghịch, được ký kết hiệu là GLn(K).
1.4 Các ví dụ:
Xét những ma trận vuông thực, cấp 2 sau đây:
Ta có: A.B = B.A = I2. Do đó: A, B là khả nghịch với A là nghịch hòn đảo của B; B là nghịch đảo của A
Ma trận C ko khả nghịch bởi với mọi ma trận vuông cấp 2 ta gần như có:
Xem thêm: Hopper Là Gì ? (Từ Điển Anh Hopper Nghĩa Là Gì Trong Tiếng Việt
2. Tính chất:
1. Nếu A, B là khả nghịch thì ma trận tích AB là khả nghịch với (AB)-1= B-1. A-1
2. Nếu A khả nghịch thì ATkhả nghịch cùng (AT)-1= (A-1)T
(quý khách hãy thừ chứng tỏ hiệu quả trên nhé)
3. Mối quan hệ giới tính giữa ma trận khả nghịch và ma trận sơ cấp:
3.1 Ma trận sơ cấp: Ma trận E vuông cấp cho n trên K (n ≥ 2) được Call là ma trận sơ cung cấp dòng (cột) trường hợp E chiếm được tự ma trận đơn vị In bời đúng 1 phxay đổi khác sơ cấp dòng (cột). Các ma trận sơ cung cấp loại xuất xắc cột điện thoại tư vấn bình thường là ma trận sơ cấp.
3.2 Tính chất: Mọi ma trận sơ cấp loại (hay cột) phần lớn khả nghịch với nghịch đảo của nó lại là một trong ma trận sơ cấp cho loại.
Ta có thể kiểm soát trực tiếp hiệu quả trên bằng thực nghiệm:
Ma trận sơ cấp dạng 1: nhân 1 dòng của ma trận đơn vị với α ≠ 0
Ma trận sơ cấp dạng 1
Ma trận sơ cấp cho dạng 2
Ma trận sơ cung cấp dạng 3
3.3 Định lý:
Cho A là ma trận vuông cung cấp n trên K (n ≥ 2). khi kia, các khẳng định sau đó là tương đương:
1. A khả nghịch
2. In nhận ra từ A vày một vài hữu hạn những phnghiền đổi khác sơ cấp loại (cột)
3. A là tích của một vài hữu hạn những ma trận sơ cấp
(Quý Khách gọi rất có thể xem minh chứng định lý này trong ca1c giáo trình về ĐSTT)
3.4 Hệ quả:
Cho A là ma trận vuông cung cấp n trên K (n ≥ 2). Khi đó, những khẳng định sau đây là tương đương:
1. A khả nghịch khi còn chỉ Lúc dạng thiết yếu tắc của A là In
2. Nếu A khả nghịch thì In nhận thấy trường đoản cú A vì chưng một vài hữu hạn các phnghiền biến hóa sơ cung cấp chiếc (cột); đồng thời, chủ yếu hàng những phnghiền đổi khác sơ cấp cho dòng (cột) này sẽ phát triển thành In thành nghịch hòn đảo của ma trận A.
4. Thuật tân oán Gausβ – Jordan search ma trận nghịch đảo bằng phxay chuyển đổi sơ cấp:
Ta áp dụng thuật toán thù Gausβ – Jordan nhằm tra cứu nghịch đảo (ví như có)của ma trận A vuông cung cấp n bên trên K. Thuật toán này được desgin phụ thuộc vào tác dụng thứ 2 của hệ trái 3.4. Ta tiến hành các bước sau đây
Cách 1: lập ma trận n hàng, 2n cột bằng cách ghxay thêm ma trận đơn vị cấp n I vào bên cần ma trận A
Lập ma trận đưa ra kăn năn cung cấp n x 2n
Bước 2: Dùng các phnghiền thay đổi sơ cấp dòng để lấy < A|I > về dạng < A’ | B >, trong những số đó A’ là 1 trong những ma trận lan can chủ yếu tắc.
– Nếu A’ = In thì A khả nghịch và A-1 = B
– Nếu A’ ≠ In thì A ko khả nghịch. Nghĩa là, vào quá trình biến đổi trường hợp A’ xuất hiện tối thiểu 1 mẫu ko thì chớp nhoáng kết luận A ko khả nghịch (không cần thiết phải chuyển A’ về dạng bao gồm tắc) và kết thúc thuật toán thù.
ví dụ như minch họa: Sử dụng thuật tân oán Gausβ – Jordan để tìm ma trận nghịch đảo của: